CO-ORDINATE GEOMETRY – SARKARI LIBRARY

Coordinate Geometry (निर्देशांक ज्यामिति)

Coordinate Geometry में बिंदु (Point), दूरी (Distance), मध्यबिंदु (Midpoint), विभाजन सूत्र (Section Formula), ढाल (Slope), सीधी रेखा (Straight Line), त्रिभुज का क्षेत्रफल, वृत्त (Circle) और अन्य महत्वपूर्ण सूत्रों का अध्ययन किया जाता है।

Cartesian Coordinate System (कार्तीय निर्देशांक पद्धति)

बिंदु (Point): \(P(x,y)\), जहाँ \(x\) = Abscissa (भुज) और \(y\) = Ordinate (कोटि)।
Origin (मूल बिंदु): \(O(0,0)\)
X-axis पर बिंदु: \((x,0)\)
Y-axis पर बिंदु: \((0,y)\)
प्रथम चतुर्थांश (Quadrant I): \((+,+)\)
द्वितीय चतुर्थांश (Quadrant II): \((-,+)\)
तृतीय चतुर्थांश (Quadrant III): \((-,-)\)
चतुर्थ चतुर्थांश (Quadrant IV): \((+,-)\)
X-axis से बिंदु की दूरी: \(|y|\)
Y-axis से बिंदु की दूरी: \(|x|\)
Origin से बिंदु \(P(x,y)\) की दूरी: \(\sqrt{x^2+y^2}\)

Distance Formula (दूरी सूत्र)

यदि दो बिंदु \(A(x_1,y_1)\) और \(B(x_2,y_2)\) हों:

दो बिंदुओं के बीच दूरी:
\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
Origin से \(P(x,y)\) की दूरी:
\[OP=\sqrt{x^2+y^2}\]
यदि दोनों बिंदुओं के \(x\)-निर्देशांक समान हों:
\[AB=|y_2-y_1|\]
यदि दोनों बिंदुओं के \(y\)-निर्देशांक समान हों:
\[AB=|x_2-x_1|\]
यदि दो बिंदुओं के बीच दूरी \(d\) हो:
\[d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\]

Midpoint Formula (मध्यबिंदु सूत्र)

यदि \(A(x_1,y_1)\) और \(B(x_2,y_2)\) दो बिंदु हों, तो उनके मध्यबिंदु \(M\) के निर्देशांक:

Midpoint:
\[M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\]
यदि मध्यबिंदु \(M(h,k)\) और एक बिंदु \(A(x_1,y_1)\) हो:
\[B=(2h-x_1,\ 2k-y_1)\]
Origin और \(P(x,y)\) का मध्यबिंदु:
\[\left(\frac x2,\frac y2\right)\]

Section Formula (विभाजन सूत्र)

यदि \(P\), \(A(x_1,y_1)\) और \(B(x_2,y_2)\) को \(m:n\) के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करे, अर्थात \(AP:PB=m:n\):

Internal Division:
\[P=\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\]
External Division:
\[P=\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n},\frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\]
जहाँ \(m\ne n\)।
Midpoint विशेष स्थिति: \(m=n=1\), इसलिए
\[P=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\]
Centroid (त्रिभुज का केंद्रक): यदि शीर्ष \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\), \(C(x_3,y_3)\) हों:
\[G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\]

Slope of a Line (रेखा की ढाल)

किसी रेखा की ढाल को \(m\) से दर्शाते हैं।

दो बिंदुओं से Slope:
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\quad x_2\ne x_1\]
रेखा का कोण \(\theta\) हो:
\[m=\tan\theta\]
Horizontal Line (क्षैतिज रेखा): \(m=0\)
Vertical Line (ऊर्ध्वाधर रेखा): Slope अपरिभाषित (Undefined)।
समानांतर रेखाएँ: \(m_1=m_2\), जब दोनों ढाल परिभाषित हों।
लंबवत रेखाएँ: \(m_1m_2=-1\), जब दोनों ढाल परिभाषित हों।
दो रेखाओं के बीच कोण:
\[\tan\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|\]
लंबवत रेखाओं के बीच कोण: \(90^\circ\)
समानांतर रेखाओं के बीच कोण: \(0^\circ\)

Equation of a Straight Line (सरल रेखा के समीकरण)

Slope-Intercept Form:
\[y=mx+c\]
जहाँ \(m\) = slope और \(c\) = Y-axis पर intercept।
Point-Slope Form:
\[y-y_1=m(x-x_1)\]
Two-Point Form:
\[\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\]
यह रूप तब उपयोगी है जब आवश्यक हर शून्य न हो।
Intercept Form:
\[\frac xa+\frac yb=1\]
जहाँ \(a\) = X-intercept और \(b\) = Y-intercept।
General Form:
\[Ax+By+C=0\]
General Form से Slope:
\[m=-\frac AB\quad (B\ne0)\]
General Form से X-intercept:
\[x=-\frac CA\quad (A\ne0)\]
General Form से Y-intercept:
\[y=-\frac CB\quad (B\ne0)\]
Origin से गुजरने वाली रेखा:
\[y=mx\]
क्षैतिज रेखा: \(y=k\)
ऊर्ध्वाधर रेखा: \(x=k\)
दो बिंदुओं से रेखा का Determinant Form:
\[\begin{vmatrix}x&y&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}=0\]

Parallel and Perpendicular Lines (समानांतर और लंबवत रेखाएँ)

समानांतर रेखाएँ: \(m_1=m_2\)
लंबवत रेखाएँ: \(m_1m_2=-1\), जब दोनों ढाल परिभाषित हों।
सामान्य रूप में समानांतर रेखाएँ: \(A_1x+B_1y+C_1=0\) और \(A_2x+B_2y+C_2=0\) के लिए
\[A_1B_2-A_2B_1=0\]
सामान्य रूप में लंबवत रेखाएँ:
\[A_1A_2+B_1B_2=0\]
एक ही रेखा (Coincident Lines): तीनों गुणांकों का अनुपात समान हो:
\[\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\]
जहाँ हर शून्य न हो।

Distance of a Point from a Line (बिंदु से रेखा की दूरी)

यदि रेखा \(Ax+By+C=0\) और बिंदु \(P(x_1,y_1)\) हो:

Perpendicular Distance:
\[d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
Origin से रेखा की दूरी:
\[d=\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
दो समानांतर रेखाओं के बीच दूरी:
यदि रेखाएँ \(Ax+By+C_1=0\) और \(Ax+By+C_2=0\) हों:
\[d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

Area of a Triangle (त्रिभुज का क्षेत्रफल)

यदि त्रिभुज के शीर्ष \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\), \(C(x_3,y_3)\) हों:

Area:
\[A=\frac12\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|\]
Determinant Form:
\[A=\frac12\left|\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}\right|\]
तीन बिंदु समरेखीय (Collinear) होने की शर्त:
\[A=0\]
Origin और दो अन्य बिंदुओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल:
\[A=\frac12|x_1y_2-x_2y_1|\]

Centroid, Incenter, Circumcenter and Orthocenter

Centroid (केंद्रक):
\[G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\]
Centroid का गुण: प्रत्येक Median को शीर्ष से \(2:1\) के अनुपात में विभाजित करता है।
Incenter (अंतःकेंद्र): त्रिभुज के तीनों कोणों के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु।
Circumcenter (परिकेंद्र): तीनों भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु।
Orthocenter (लंबकेंद्र): त्रिभुज की तीनों ऊँचाइयों का प्रतिच्छेद बिंदु।
Incenter के निर्देशांक: यदि विपरीत भुजाएँ \(a,b,c\) और शीर्ष \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\), \(C(x_3,y_3)\) हों:
\[I=\left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c},\frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right)\]
जहाँ \(a=BC,\ b=CA,\ c=AB\)।

Circle (वृत्त का समीकरण)

Center \((0,0)\), Radius \(r\):
\[x^2+y^2=r^2\]
Center \((h,k)\), Radius \(r\):
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
General Equation:
\[x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\]
Center: \((-g,-f)\)
Radius:
\[r=\sqrt{g^2+f^2-c}\]
वास्तविक वृत्त की शर्त: \(g^2+f^2-c>0\)
एक बिंदु \((x_1,y_1)\) वृत्त पर हो:
\[(x_1-h)^2+(y_1-k)^2=r^2\]
व्यास के अंतिम बिंदु \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) हों:
\[\text{Center}=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\]
\[r=\frac12\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Tangent to a Circle (वृत्त की स्पर्शरेखा)

केंद्र \((0,0)\) वाले वृत्त पर \((x_1,y_1)\) पर स्पर्शरेखा:
\[xx_1+yy_1=r^2\]
केंद्र \((h,k)\) वाले वृत्त पर \((x_1,y_1)\) पर स्पर्शरेखा:
\[(x_1-h)(x-h)+(y_1-k)(y-k)=r^2\]
वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा: उस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है।
केंद्र से स्पर्शरेखा की दूरी: \(r\)
बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाओं की लंबाइयाँ: बराबर होती हैं।

Chord of a Circle (वृत्त की जीवा)

केंद्र से जीवा की दूरी \(d\) हो:
\[L=2\sqrt{r^2-d^2}\]
जहाँ \(L\) जीवा की लंबाई है।
जीवा की लंबाई \(L\) हो:
\[d=\sqrt{r^2-\frac{L^2}{4}}\]
केंद्र पर कोण \(\theta\) हो:
\[L=2r\sin\frac{\theta}{2}\]
व्यास: वृत्त की सबसे बड़ी जीवा, जिसकी लंबाई \(2r\) होती है।
केंद्र से जीवा पर लंब: जीवा को दो बराबर भागों में बाँटता है।

Parabola (परवलय)

दाईं ओर खुलने वाला परवलय:
\[y^2=4ax\]
Focus: \((a,0)\), Directrix: \(x=-a\)
बाईं ओर खुलने वाला परवलय:
\[y^2=-4ax\]
Focus: \((-a,0)\), Directrix: \(x=a\)
ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय:
\[x^2=4ay\]
Focus: \((0,a)\), Directrix: \(y=-a\)
नीचे की ओर खुलने वाला परवलय:
\[x^2=-4ay\]
Focus: \((0,-a)\), Directrix: \(y=a\)
शीर्ष (Vertex): इन सभी standard forms में \((0,0)\)।
Latus Rectum की लंबाई: \(4a\), जहाँ \(a>0\)।

Ellipse (दीर्घवृत्त)

Standard Equation:
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\quad a>b>0\]
यदि Major Axis X-axis पर हो: \(c^2=a^2-b^2\)
Foci: \((\pm c,0)\)
Eccentricity: \(e=\frac ca=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
Major Axis की लंबाई: \(2a\)
Minor Axis की लंबाई: \(2b\)
यदि Major Axis Y-axis पर हो:
\[\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\]

Hyperbola (अतिपरवलय)

Standard Equation:
\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\]
Foci: \((\pm c,0)\), जहाँ \(c^2=a^2+b^2\)।
Eccentricity: \(e=\frac ca>1\)
Asymptotes:
\[y=\pm\frac ba x\]
Transverse Axis की लंबाई: \(2a\)
Conjugate Axis की लंबाई: \(2b\)
Y-axis पर खुलने वाला Hyperbola:
\[\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\]

Polar Coordinates (ध्रुवीय निर्देशांक)

Cartesian से Polar:
\[r=\sqrt{x^2+y^2}\]
कोण:
\[\theta=\tan^{-1}\left(\frac yx\right)\]
चतुर्थांश के अनुसार कोण का सही मान चुनें।
Polar से Cartesian:
\[x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta\]
संबंध:
\[x^2+y^2=r^2\]

Important Coordinate Geometry Results

दो बिंदुओं के बीच दूरी: \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
मध्यबिंदु: \(M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
त्रिभुज का केंद्रक: \(G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\)
त्रिभुज का क्षेत्रफल:
\[A=\frac12|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|\]
Collinear Points: तीन बिंदु समरेखीय होंगे यदि उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो।
Parallel Lines: उनकी ढाल समान होती है।
Perpendicular Lines: दोनों परिभाषित ढालों का गुणनफल \(-1\) होता है।
वृत्त का केंद्र: \((-g,-f)\), यदि समीकरण \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) हो।
Distance, Midpoint और Section Formula के प्रश्नों का अभ्यास करें।
Slope, Parallel और Perpendicular Lines के सूत्र याद रखें।
Triangle Area और Collinearity आधारित प्रश्न अक्सर सरल गणना से हल होते हैं।
Circle के Center, Radius और Tangent के सूत्रों पर विशेष ध्यान दें।
Parabola, Ellipse और Hyperbola के standard equations मुख्यतः उच्च स्तर की गणित परीक्षाओं में अधिक उपयोगी हैं।